Un pleonasmo puede ser útil y darle expresividad al texto. Así, cuando una madre grita por el balcón «¡sube p’arribaaa!», su pleonasmo dice muchas cosas; por ejemplo, que antes ha habido un «sube a cenar», un «vengaaa, sube ya», un «¡que subas te he dicho!», y un «que no tenga que volver a salir al balcón». En ese sube p’arriba, hay un verbo en imperativo y un complemento circunstancial de madre; por eso la redundancia del arriba, con su preposición contraída, ni reitera ni sobrecarga el sube, sino que le da expresividad y añade matices. (Digresión: ¿por qué son correctas las contracciones al y del pero no lo es pal e, incluso, la transformación de para en el prefijo pa o p-?).

Hay más expresiones de ese tipo (salir afuera/fuera, entrar dentro/adentro, bajar abajo); todas ellas, en el texto y el contexto adecuado, hacen que el pleonasmo no dé calambre. De hecho, los textos, escritos y hablados, están llenos de pleonasmos (de alguna manera, el sujeto y su verbo casi siempre son redundantes).
Observé por mí misma como al besugo le preocupaba la llegada de la Navidad. 

Si digo que lo observé no hace falta que especifique que lo hice por mí misma (ni que lo vi con mis propios ojos ni que lo oí con mis propios oídos), pero la repetición enfatiza y se adelanta a posibles objeciones, ya que hago hincapié en que no me lo han contado). No es necesaria esa repetición, pero tampoco estorba; al contrario.

En cuanto a el besugo, es un complemento indirecto (CI) claro y preciso, y, aun así, se repite en el pronombre le. En este caso no solo la sintaxis es correcta, sino que es obligado el doble CI. En bastantes casos hay que duplicar un complemento con un pronombre y en muchos, si bien no es obligatorio, sí resulta más natural que no hacerlo; pero eso será otra dosis de atutía (el sí de la última frase tampoco es necesario, pero quiero que esté).

Por otra parte, hay pleonasmos propios del habla de una zona o de un estilo narrativo.
En el mes de diciembre del año 1954 el besugo ya se imaginaba que su final podía tomar varias formas diferentes; era un día martes.

Lo malo es que hay pleonasmos que aportan poca expresividad y alargan el texto.
Los iones interaccionaron entre sí, sin experiencia previa. Todos quedaron completamente exhaustos, ya que no habían tenido tiempo suficiente para el precalentamiento y estaban incluidos dentro de la reacción química.

Si se quita todo lo que no está en verde, la frase anterior no pierde claridad y gana en facilidad de lectura; esto último ha sido una opinión, sí. Por otra parte, no hay que descartar que quien escribe algo así tenga una intención clara y maneje bien los recursos expresivos.
Las personas humanas que se presentan a comicios electorales conocen la legislación vigente, aunque en algunos lapsos de tiempo se les olvida. Yo, personalmente, creo que es un prerrequisito contemplar las distintas posibilidades que podrán tener para hacer previsiones de futuro, que son absolutamente imprescindibles para evitar accidentes fortuitos.
Las personas que se presentan a elecciones conocen la legislación, aunque en algunos lapsos se les olvida. Creo que es un requisito contemplar las posibilidades que tendrán para hacer previsiones, que son imprescindibles para evitar accidentes.

Por su propia definición, los comicios son elecciones, la legislación está en vigor (si no lo está es cuando hay que ponerle un adjetivo), un lapso es tiempo (un periodo, también) y los requisitos siempre son anteriores a algo. Y si hay varias posibilidades, serán distintas entre ellas; además, si ya son posibilidades, el verbo poder no hace más que repetir la idea. ¿Cómo sería una previsión que no fuera de futuro? ¿Se puede ser un poco imprescindible? ¿Hay algún accidente que no suceda inopinada y casualmente? Al evitar los pleonasmos no se ha perdido significado sino que, por el contrario, el texto es menos alambicado y más conciso. Claro que si la intención es marear al lector o apabullar al interlocutor, la primera versión es más adecuada. Ahora bien, hay que considerar la posibilidad de que enfrente haya una persona lista que detecte que la mitad del discurso son palabras huecas.

Uno de los recursos expresivos que dan lugar a pleonasmos altisonantes y pretenciosos es el prefijo auto-, sobre todo en su forma auto-cualquier verbo-se; es decir, cuando reitera el valor reflexivo que proporciona con gran eficacia el sufijo –se. Para que aparezca una supernova ya solo es necesario añadir un a mí/ti/sí mismo.
Me preocupo por mi propia salud: me autoimpongo a mí mismo hacer treinta segundos de ejercicio físico todos los días.
Me preocupo por mi salud: me impongo hacer treinta segundos de ejercicio todos los días.

Si tomas autoconciencia de los largos de piscina necesarios para eliminar esa porción de chocolate, no irás a buscarla a la cocina; aunque tengas cita previa con ella.
Si eres consciente de los largos de piscina necesarios para eliminar esa porción de chocolate, no irás a buscarla a la cocina; aunque hayas concertado una cita con ella.

Es oír un reguetón y autosugestionarme de que lo que suena es «Ojos verdes», para no liarme a tortas.
Yo es oír un reguetón y sugestionarme de que lo que suena es «Ojos verdes», para no liarme a tortas.

Yo me autogestiono mis propios periodos de tiempo vacacionales.
Yo me gestiono las vacaciones a mi aire / a mi bola / por mí misma /a mi conveniencia.

No está de más, pues, revisar los textos y pararse ante cada redundancia para decidir si aporta algo o si sobra. Una pista: si cada poco resuenan adverbios acabados en –mente, sobra algo. Y así, en general, los adverbios siempre son sospechosos de estar de más; como ese siempre que se me acaba de colar.